[AI 개론] 02 - Tensor 개념과 이미지 데이터 표현

1. Tensor의 개념

• 텐서(Tensor)는 다차원 배열(배열의 일반화된 형태)을 의미하며, 스칼라, 벡터, 행렬의 확장된 개념이다.
• 머신러닝과 딥러닝에서는 데이터 표현과 연산을 위해 텐서를 사용

개념	차원 (Dimensionality)	예시
스칼라 (Scalar)	0D (0차원)	\( x \in \mathbb{R} \)
벡터 (Vector)	1D (1차원)	\( \mathbf{x} \in \mathbb{R}^N \)
행렬 (Matrix)	2D (2차원)	\( \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times N} \)
3D 텐서 (3차원 텐서)	3D	\( \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times C} \)
nD 텐서 (고차원 텐서)	( n )-차원	\( \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{d_1 \times d_2 \times \dots \times d_n} \)

 

==========𝔼𝔼𝟚𝟚==========

 

2. 이미지 데이터 표현과 Tensor 구조

2.1 흑백 이미지 (Grayscale Image)

• 흑백 이미지는 각 픽셀이 밝기(Brightness) 값 하나를 가짐
• 2D 행렬로 표현될 수 있지만, 딥러닝 모델에서는 채널(Channel) 차원 추가 → 3D Tensor로 변환
  \[
  \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times 1}
  \]
  • ( H ): 이미지 높이 (Height)
  • ( W ): 이미지 너비 (Width)
  • ( 1 ): 단일 채널 (Grayscale)

예제) MNIST 데이터셋 (28 × 28, 흑백)
\[
\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{28 \times 28 \times 1}
\]

_

2.2 컬러 이미지 (RGB Image)

• 컬러 이미지에서는 각 픽셀이 Red, Green, Blue (RGB) 3개의 값을 가짐.
• 따라서 3D Tensor 형태로 표현됨:
  \[
  \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times 3}
  \]
  • ( H ): 이미지 높이
  • ( W ): 이미지 너비
  • ( 3 ): RGB 채널

예제) ImageNet 데이터셋 (224 × 224, RGB 컬러)
\[
\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{224 \times 224 \times 3}
\]

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2.3 Batch

• 딥러닝에서는 여러 개의 이미지를 한 번에 처리하기 위해 Batch 단위로 데이터를 표현함.
• Batch를 포함하면 4D Tensor가 됨:
  \[
  \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{N \times H \times W \times C}
  \]
  • ( N ): 배치 크기 (Batch Size)
  • ( H ): 높이 (Height)
  • ( W ): 너비 (Width)
  • ( C ): 채널 (Channel)

예제) Batch 크기 32, 224×224 RGB 이미지
\[
\mathbf{X} \in \mathbb{R}^{32 \times 224 \times 224 \times 3}
\]

 

==========𝔼𝔼𝟚𝟚==========

 

3. Tensor와 연산

• 텐서 연산(Tensor Operations)은 벡터 및 행렬 연산의 확장된 형태이다.

1. 덧셈/뺄셈
   \[
   \mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{H \times W \times C} \Rightarrow \mathbf{A} + \mathbf{B} \in \mathbb{R}^{H \times W \times C}
   \]
2. Scalar 곱 (Multiplication)
   \[
   \alpha \in \mathbb{R}, \quad \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times C} \Rightarrow \alpha \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times C}
   \]
3. 내적 (Dot Product)
   \[
   \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{M \times K}, \quad \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{K \times N} \Rightarrow \mathbf{X} \cdot \mathbf{Y} \in \mathbb{R}^{M \times N}
   \]
4. 합성곱 (Convolution)

• CNN에서는 합성곱(Convolution) 연산을 사용하여 특징을 추출:
  \[
  \mathbf{X} \ast \mathbf{W} = \mathbf{Y}
  \]
  • \( \mathbf{X} \): 입력 이미지 텐서
  • \( \mathbf{W} \): 필터(커널) 텐서
  • \( \mathbf{Y} \): 출력 텐서 (특징 맵)

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4. 결론 및 정리

4.1 핵심 정리

1. Tensor는 다차원 배열이며, 이미지 데이터는 3D Tensor로 표현됨
2. 흑백 이미지 (Grayscale) → \( H \times W \times 1 \)
3. 컬러 이미지 (RGB) → \( H \times W \times 3 \)
4. Batch를 포함하면 4D Tensor (Batch, Height, Width, Channels)
5. CNN 모델에서는 합성곱 연산(Convolution)을 통해 이미지 특징을 추출

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4.2 주요 수식

1. Grayscale Image Tensor:
   \[
   \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times 1}
   \]
2. RGB Image Tensor:
   \[
   \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{H \times W \times 3}
   \]
3. Batch 포함 Tensor:
   \[
   \mathbf{X} \in \mathbb{R}^{N \times H \times W \times C}
   \]
4. CNN의 합성곱 연산:
   \[
   \mathbf{X} \ast \mathbf{W} = \mathbf{Y}
   \]